Giải hết 101 bài toán về tứ giác nội tiếp này bạn sẽ tự tin thi HSG hay chuyên toán

Hãy cùng NDTLS giải hết 101 bài toán về tứ giác nội tiếp nào. Kiến thức hình học của bạn sẽ được củng cố rất nhiều để tự tin bước vào kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh cũng như chuyên toán.


Bài số 1:

Cho ABC vuông ở A. Trên AC lấy điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt Đường tròn tại S. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ABCD nội tiếp.

b) Hai góc ABD và ACD bằng nhau

c) CA là phân giác của góc SCB

Hướng dẫn giải:

a) Dễ thấy hai góc BAC và BDC cùng bằng 90 độ => ABCD nội tiếp.

b) Trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD , hai góc ABD và ACD là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD nên bằng nhau

c) Trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD , hai góc ACB và ADB là hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB nên bằng nhau.

Lại có góc ADB = góc DSM + DMS = MCS

Phát triển bài toán: Bài này có thể hỏi thêm như chứng minh SH // AB

Bài số 2:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc với AD. Chứng minh:

a) Tứ giác ABEF, tứ giác DCEF nội tiếp .

b) CA là phân giác của góc BCF

c) Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ giác BCMF nội tiếp

Hướng dẫn giải:

a) Dễ rồi nhé

b) Ta có hai góc C3 và D3 bằng nhau, hai góc ECF = D3 => đpcm

c) Ta lần lượt chứng minh góc C1 = D1 = A1 = F1 ; D3 = F3 ; F2 = ECM, C3 = F3

=> BFM + BCM = F2 + F3+ BFM  = 180 độ

Phát triển bài toán: Ta thấy E là giao điểm 3 phân giác của tam giác BCF. Vì vậy có thể hỏi thêm chứng minh E cách đều 3 cạnh của tam giác BCF hay E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCF

Bài số 3: 

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD . Hai đường chéo AC , BD cắt nhau tại E . Hình  chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M . Giao điểm của BD và CF là N . Chứng minh :

a) CEFD là tứ giác nội tiếp .

b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM .

c) BE . DN = EN . BD

Hướng dẫn giải:

a) Dễ

b) Chứng minh tương tự bài 2 ta có góc F2 = F3

Ta chứng minh tiếp F4 + F3 = F2 + F1. Vậy F4 = F1 = F5 => FA là tia phân giác của góc BFM .

c) FA là tia phân giác của góc BFM nên FD là phân giác của góc CFI

FE là phân giác của tam giác BFN nên BF/FN = BE/EN

FD là phân giác của góc ngoài của tam giác BFN nên BF/FN = BD/ND

Vậy BE/EN = BD/ND => BE . DN = EN . BD

Bài số 4: 

Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B . Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E . Các đường thẳng CD , AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F , G . Chứng minh :

a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD .

b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được trong một đường tròn .

c) AC song song với FG .

d) Các đường thẳng AC , DE và BF đồng quy .

Bài số 5

a) dễ

b) CM là phân giác của ∠BCS∠BCS
Tứ giác CSDM nội tiếp ⇒ góc SCM= góc ADM
Tứ giác CDAB nội tiếp
⇒góc BCM= góc ADM
⇒góc BCM=góc SCM
⇒CM là tia phân giác góc BCS

c) TA/TD=TC/TB
Xét tam giác BCT
AC và TN là 2 đường cao cắt nhau tại M
⇒ BM vuông góc với CT
mà CD vuông góc với MB
⇒C, D, T thẳng hàng
dễ dàng cm được ΔTCA∼ΔTBD
⇒ đpcm

Bài số 7

Câu 1) Dễ

Câu 2) E nằm trên đường trung trực của AC nên chứng minh được: góc AEH = CEH = BEK

Chứng minh được hai tam giác đồng dạng: AEH và BEK => góc BKE vuông

=> AHEK nội tiếp

Câu 3) Kẻ đường kính AI => tam giác ABI vuông tại B, theo pytago ta có

Bài số 9 (Theo yêu cầu của bạn Dark)

Cho tam giác ABC không cân, đường cao AH, nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của B, C lên đường kính AD của đường tròn (O) và M, N thứ tự là trung điểm của BC, AB. Chứng minh:

a) Bốn điểm A, B, H, E cùng nằm trên đường tròn tâm N và HE// CD.

b) M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF

a) Bốn điểm A, B, H, E cùng nằm trên đường tròn tâm N (dễ nhé)

HE // CD (Vì Góc FCB = góc EBC cùng bằng góc HAO)

b) ABHE nội tiếp => góc EHC = góc BAE mà góc BAE = góc BCD nên góc EHC = góc BCD

=> HE // CD

Mà AC vuông góc với CD nên HE vuôn góc với AC, lại có MN //AC vậy MN vuông góc với HE

Ta chứng minh được EN = HN (cùng bằng nửa AB). Tam giác HNE cân tại N, NM là đường cao nên cũng là đường trung trực => ME = MH (1)

Ta cũng chứng minh được HF // BD (vì AHFC nội tiếp => góc CHF =góc FAC = góc CBD)

Gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh tương tự ta có IM //AB nên vuôn góc với BD và HF,

Tam giác HIF cân tại I. IM là đường trung trực của HF => MH = MF (2)

(1),(2) => đpcm

Bài số 11 (Theo yêu cầu của bạn Thảo Chi)

a) SAOB, SAEO nội tiếp => 5 điểm S, A, E, O, B cùng thuộc một đường tròn

b) Nếu SA = AO thì tam giác SAO, SBO vuông cân tại A và B => SAOB là hình vuông.

c) Chứng minh hai tam giác SAC và SDA đồng dạng => AC/DA = SA/SD (1)

Chứng minh hai tam giác SBC và SDB đồng dạng  => BD/BC = SD/SB (2)

Nhân vế với vế (1) và (2) ta có (AC.BD)(DA.BC) = 1 => AC.BD = BC.DA (*)

Chứng minh hai tam giác đồng dạng ACE và ABD (góc ACE = Góc ABD, góc AEC = góc ADB cùng bằng góc ABS) => AC/AB = CE/BD => AC.BD = AB.CE (3)

Chứng minh hai tam giác ACB và AED đồng dạng (g-g) => CB/ED = AB/AD

=>CB.AD = AB.ED (4)

Từ (3),(4) => AC.BD + CB.AD = AB(CE + ED) = AB.CD (**)

Từ (*) và (**) => AC.BD = BC.DA = AB.CD/2

Bài tập 12 (Bạn trangks2004 hỏi)

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến  Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E).

a) Chứng minh AC. AE không đổi.

b) Chứng minh góc ABD = góc DFB

c) Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.

a) Tam giác ABE vuông tại B, đường cao BC => AC.AE = AB2 không đổi.

b) góc ABD = góc DFB (1) vì cùng phụ với góc DBF

c) ACDB nội tiếp => góc ABD = góc DCE (2)

từ (1) và (2) => góc DFB = góc DCE  => CEFD là tứ giác nội tiếp.

Bài tập 13 (Theo đề nghị của bạn Quý)

Trên đường thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với d. Trên tia Ax lấy I. Tia vuông góc với CI tại C cắt đường thẳng By tại K. Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P.

a) Chứng minh tứ giác CBPK nội tiếp được đường tròn .

b) Chứng minh AI.BK = AC.CB

a) Hai góc KPC và KBC vuông => CBPK nội tiếp được đường tròn .

b) Chứng minh hai tam giác IAC và CBK đồng dạng (g-g) => AC/BK  = IA/BC => AC.BC = IA.BK

Bài số 14: (Theo yêu cầu của bạn Linh Le)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH, vẽ đường tròn đường kính AH, đường tròn này cắt AB tại E, cắt AC tại F.

a) Chứng minh AEHF là hình chữ nhật.

b) Chứng minh: BEFC là tứ giác nội tiếp .

c) Chứng minh: AB.AE = AC.AF

d) Gọi M là là giao điểm của CE và BF. Hãy so sánh diện tích của tứ giác AEMF và diện tích của tam giác BMC.

a) b) dễ

c) Chứng minh AB.AE = AH2 = AC.AF

d) Ta sẽ so sánh diện tích 2 tam giác ABF và BEC

Gọi diện tích tam giác ABC là S. Ta có:

S(ABF)/S = AF/AC

S(BEC)/S = BE/AB

Hai tam giác BEH và BAC đồng dạng => BE/AB = EH/AC => BE.AC = AB.EH

=> BE.AC = AB.AF => AF/AC = BE/AB

Vậy S(ABF) = S(BEC) => S(AEMF) = S(BMC)

Bài số 18: (Theo yêu cầu của bạn Kuju)

Cho đường tròn  (O; R), từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC vg MB, BD vg MA,  gọi H là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.

a) Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.

b) Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn .

c) Chứng minh OM = R2; OI. IM = IA2.

d) Chứng minh OAHB là hình thoi.

e) Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.

f) Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d.

Hướng dẫn:

a) Hai góc OAM và OBM vuông => AMBO nội tiếp.

b) AMBO và OKMB nội tiếp=> năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn

c) Chứng minh M, H, I, O thẳng hàng và MI vuông góc với AB (vì OM và MH cùng vuông với AB) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM, đường cao AI là ra.

d) AH//OB (cùng vuông với BM), AO//BH (cùng vuông với AM), OA = OB => OAHB là hình thoi.

e) Đã làm ở câu c

f) Lấy O’ đối xứng với O qua A. Ta chứng minh được góc OHO’ = 90 độ. OO’ cố định

=> quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d là đường tròn (A; AO)

Bài tập 19 (Theo yêu cầu của bạn Hà Trang)

Cho 3 điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự. Vẽ đường tròn (O) bất kỳ đi qua B và C (BC không là đường kính của (O)). Kẻ các tiếp tuyến AE và AF với (O) (E; F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC; K là trung điểm của EF, giao điểm của FI với (O) là D. Chứng minh:

a) AE2 = AB.AC

b) Tứ giác AEOF nội tiếp

c) Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một đường tròn.

d) ED song song với AC.

e) Khi (O) thay đổi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Câu a,b,c cơ bản

d) Ta chứng minh được góc EDF = góc AEF = góc AIF => ED //AC

e) Gọi J là giao điểm của EF và AC, ta có OKJI nội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK chính là đường tròn ngoại tiếp tứ giác OKJI. Khi O thay đổi thì OK,OI, KJ chỉ có IJ không đổi vì EF, AC không đổi => Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OKJI luôn nằm trên đường trung trực cố định của IJ.

Loading...

51 thoughts on “Giải hết 101 bài toán về tứ giác nội tiếp này bạn sẽ tự tin thi HSG hay chuyên toán

  1. Giải dùm mình bài này với .
    Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD các điểm E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của B,D lên AC. Chứng minh rằng: CE=AF

    1. Em đang có cách học tập hết sức đúng đắn, không có gì bằng tự học cả, Thầy tin em sẽ thành công, em hãy suy nghĩ tự giải sẽ nhớ lâu, khi rảnh thầy sẽ hướng dẫn

  2. thầy ơi cho em hỏi ngay cái chỗ bài 5, câu b thầy chứng minh tứ giác nội tiếp đó thầy, em thắc mắc là thầy chứng minh tứ giác SDMC nội tiếp bằng cách nào ạ, em thắc mắc là có phải thầy nói nó có 4 điểm S,D,M,C cùng nằm trên đường tròn phải không ạ, hay thầy dùng cách nào khác vậy. Còn tứ giác DABC thì em hiểu. Mong thầy trả lời em, cảm ơn thầy nhiều.

  3. Thầy có thể giải chi tiết vài dạng khó hay gặp trong 101 bài đó thôi, em đang ôn luyện để năm sau thi chuyển cấp, Bt của thầy có nhiều bài hay nhưng hơi khó, Mong thầy giúp đỡ

    1. Bạn cứ giải đi bài nào khó comment mình rảnh sẽ giải chứ tự nhiên đi giải nhỡ không ai thèm xem có phải uổng không bạn, hehe. Cảm ơn bạn ghé thăm Blog nhỏ

Add Comment