Đề thi học sinh giỏi toán 9 Bảo Lộc năm học 2014-2015 – Hướng dẫn giải

Đề thi học sinh giỏi toán 9 Bảo Lộc năm học 2014-2015

Hướng dẫn giải Đề thi học sinh giỏi toán 9 Bảo Lộc năm học 2014-2015

1) A=mn(m2 – n2) = mn(m2 – 1 – n2 + 1) = mn[(m-1)(m+1) – (n – 1)(n + 1)] = mn(m-1)(m+1) – mn(n – 1)(n + 1)

2) Nhân chéo và biến đổi

3) Gọi số tự nhiên cần tìm là A

Ta có:  A = 1991p + 23 ( p ∈ N )

A = 1993q + 32 ( q ∈ N )

Nên: 1991p + 23 = 1993q + 32=> 1991(p – q) = 2q + 9

Ta thấy: 2q + 9 là số tự nhiên lẻ => 1991(p – q) cũng là số tự nhiên lẻ ==>p – q >=1

Theo giả thiết A nhỏ nhất => q nhỏ nhất (vì A = 1991q + 23)

=>2q = 1991(p – q) – 9 nhỏ nhất

=> p – q nhỏ nhất

Do đó p – q = 1 => 2q = 1991 – 9 = 1982

=> q = 991

Vậy số cần tìm là: A = 1993q + 32 = 1993.991 + 32  =1 975 095

4) A = – x2 + 6xy – 10y2 – 2x + 10y + 2010

=> – A = x2 – 6xy + 10y2 + 2x – 10y – 2010

= (x2 + (3y)2 +12 – 2.x.3y + 2x.1 – 2.3y.1) + (y2 – 4y + 4) – 2015

= (x – 3y +1)2 + (y – 2)2 – 2015 >= 2015

Vậy A max = 2015 khi y = 2 và x = 5

5) Cho tam giác ABC. Trên tia BC, CA, AB lần lượt lấy các đoạn thẳng BA’ = 2CB, CB’ = 2CA, AC’ = 2AB. Tính tỉ số  S/S’=1/7 (chứng minh 7 diện tích bằng nhau)

6) Gọi A = p + p+ 2 = 2(p + 1)

p lẻ nên p = 2k+1 thay vào cm được A chia hết cho 4

Ta có P ; p+1 ;  p+2 là 3 số liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3, p và p+2 là hai số nguyên tố lớn hơn 3 nên không chia hết cho 3, vậy p+1 chia hết cho 3 => A = 2(p+1) chia hết cho 3

7) Dễ

9) Lập phương trình đường thẳng AB, để A, B, C thẳng hàng thì C thuộc đường thẳng AB. Thay tọa độ của C vào PT đường thẳng AB, giải ra ta tìm được m

10) Dễ

11)

Trong hình vẽ có rất nhiều tam giác vuông và đường cao, ta nghĩ đến hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông. Ta nghĩ đến việc chứng minh OD2 = OH.OI <=> tam giác ODI vuông tại D

Mà OD = OB nên đưa về chứng minh OB2 = OH. OI

Ta có các dường cùng màu song song => OB/OH =OS/OM = OI/OB = > OB2 = OH. OI

Add Comment